Tìm m để phương trình `-2x^4+(m+3)x^2-m^2+1=0` có 2 nghiệm phân biệt

$\text{Đặt x²=a}$

$\text{Phương trình ⇔ -2.a²+(m+3).a-m²+1=0}$

$\text{Vì phương trình là phương trình bậc 2 ẩn a ,}$

$\text{Xét Δ= (m+3)²-4.(-2).(-m²+1)}$

      $\text{=m²+6m+9-8.m² +8}$

      $\text{=-7m²+6m+17}$

$\text{ +) Để phương trình 2 có nghiệm thì -7m²+6m+17 >0}$

$\text{⇔7m²-6m-17≤0}$

$\text{⇔49m²-42m≤119}$

$\text{⇔(7m)²-2.7m.3+3²≤128<144}$

$\text{⇔(7m-3)²<12²}$

$\text{⇔-12<7m-3<12}$

$\text{⇔-9<7m<15}$

$\text{Để phương trình có 2 nghiệm phận biệt thì phương trình }$

$\text{-2.a²+(m+3).a-m²+1=0}$

$\text{Có hai nghiệm trái dấu}$

$\text{nên x1.x2=$\frac{m²-1}{2}$ <0 hệ thức Vi-et }$

$\text{⇔m²-1<0}$

$\text{⇔m²<1}$

$\text{⇔-1<m<1}$

$\text{Suy ra -1<m<1 }$

 +) để phương trình có nghiệm kép thì -7m²+6m+17=0

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x=\frac{3+8.\sqrt[]{2}}{7} \\x=\frac{3-8.\sqrt[]{2}}{7} \end{array} \right.\) 

Đáp án + giải thích các bước giải:

Đặt `x^2=a>=0`, phương trình trở thành:

`-2a^2+(m+3)a-m^2+1=0 (1)`

Phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt khi phương trình `(1)` có nghiệm kép dương hoặc hai nghiệm trái dấu 

$\to\left[\begin{array}{l}\begin{cases}\Delta=0\\x_1=x_2>0\end{cases}\to\begin{cases}\Delta=0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>0\end{cases}\to\begin{cases}\Delta=0\\\dfrac{S}{2}>0\end{cases}\\ac<0\end{array} \\\to\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}(m+3)^2-4(-2)(-m^2+1)=0\\-\dfrac{\dfrac{m+3}{-2}}{2}>0\end{cases}\\(-m^2+1)(-2)<0\end{array} \right.\right.\\\to \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}-7m^2+6m+17=0\\\dfrac{m+3}{4}>0\end{cases}\\2(m^2-1)<0\end{array} \right. \\\to \left[ \begin{array}{l}\begin{cases} m=\dfrac{3\pm8\sqrt{2}}{7}\\m>-3\end{cases}\\-1<m<1\end{array} \right.\\\to \left[ \begin{array}{l}m=\dfrac{3\pm8\sqrt{2}}{7}\\-1<m<1\end{array}\\\to m=\dfrac{3\pm8\sqrt{2}}{7} \right.$