Tìm m để hàm số y=|(2m+1)x-m-1| đồng biến trên (0;3)
2 câu trả lời
Đáp án:
-1 ≤m <$\frac{-1}{2}$
Giải thích các bước giải:
Xét hàm số g(x) =(2m+1)x-m-1
+) m= $\frac{-1}{2}$
Khi đó g(x) = $\frac{-1}{2}$ ⇒ y= $\frac{1}{2}$ là hằng số (loại)
+) m> $\frac{-1}{2}$ :
Khi đó: 2m+1>0 nên g(x) đồng biến trên R
g(x)=0 ⇔ x= $\frac{m+1}{2m+1}$
⇒ y=|g(x)| nghịch biến trên (-∞; $\frac{m+1}{2m+1}$) và đồng biến trên ($\frac{m+1}{2m+1}$; +∞)
Để y=|g(x)|đồng biến trên (0;3) thì $\frac{m+1}{2m+1}$≤0
⇔ -1 ≤m ≤$\frac{-1}{2}$ (loại) vì m>$\frac{-1}{2}$
+) m< $\frac{-1}{2}$ :
Khi đó: 2m+1 <0 nên g(x) nghịch biến trên R
g(x)=0 ⇔ x= $\frac{m+1}{2m+1}$
⇒ y=|g(x)| nghịch biến trên (-∞; $\frac{m+1}{2m+1}$) và đồng biến trên ($\frac{m+1}{2m+1}$; +∞)
Để y=|g(x)|đồng biến trên (0;3) thì $\frac{m+1}{2m+1}$≤0
⇔ -1 ≤m ≤$\frac{-1}{2}$
Kết hợp đk ⇒ -1 ≤m <$\frac{-1}{2}$
Đáp án:
\( - 1 \le m < - \frac{1}{2}\)
Giải thích các bước giải:
TH1: \(2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}\) thì \(y = \frac{1}{2}\) là hàm hằng nên không đồng biến trên \(\left( {0;3} \right)\).
\( \Rightarrow 2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow y = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{m + 1}}{{2m + 1}}\)
TH2: \(2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{2}\)
Nếu \(x \ge \frac{{m + 1}}{{2m + 1}}\) thì \(y = \left( {2m + 1} \right)x - m - 1\) đồng biến.
Nếu \(x < \frac{{m + 1}}{{2m + 1}}\) thì \(y = - \left( {2m + 1} \right)x + m + 1\) nghịch biến.
Bảng biến thiên:
Hs đồng biến trên \(\left( {0;3} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{2m + 1}} \le 0 \Leftrightarrow m + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 1\)
Kết hợp \(m > - \frac{1}{2}\) vô lí.
TH3: \(2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}\)
Nếu \(x \ge \frac{{m + 1}}{{2m + 1}}\) thì \(\left( {2m + 1} \right)x - m - 1 < 0\) nên \(y = - \left( {2m + 1} \right)x + m + 1\) đồng biến.
Nếu \(x < \frac{{m + 1}}{{2m + 1}}\) thì \(\left( {2m + 1} \right)x - m - 1 > 0\) nên \(y = \left( {2m + 1} \right)x - m - 1\) nghịch biến.
HS đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{2m + 1}} \le 0 \Leftrightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1\)
Kết hợp \(m < - \frac{1}{2}\) được \( - 1 \le m < - \frac{1}{2}\)
