Tìm m để hàm số y=|(2m+1)x-m-1| đồng biến trên (0;3)

Đáp án:

$- 1 \le m < - \frac{1}{2}$

Giải thích các bước giải:

TH1: $2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$ thì $y = \frac{1}{2}$ là hàm hằng nên không đồng biến trên $\left( {0;3} \right)$.

$\Rightarrow 2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - \frac{1}{2}$ $\Rightarrow y = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{m + 1}}{{2m + 1}}$

TH2: $2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{2}$

Nếu $x \ge \frac{{m + 1}}{{2m + 1}}$ thì $y = \left( {2m + 1} \right)x - m - 1$ đồng biến.

Nếu $x < \frac{{m + 1}}{{2m + 1}}$ thì $y = - \left( {2m + 1} \right)x + m + 1$ nghịch biến.

Bảng biến thiên:

Hs đồng biến trên $\left( {0;3} \right)$ $\Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{2m + 1}} \le 0 \Leftrightarrow m + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 1$

Kết hợp $m > - \frac{1}{2}$ vô lí.

TH3: $2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}$

Nếu $x \ge \frac{{m + 1}}{{2m + 1}}$ thì $\left( {2m + 1} \right)x - m - 1 < 0$ nên $y = - \left( {2m + 1} \right)x + m + 1$ đồng biến.

Nếu $x < \frac{{m + 1}}{{2m + 1}}$ thì $\left( {2m + 1} \right)x - m - 1 > 0$ nên $y = \left( {2m + 1} \right)x - m - 1$ nghịch biến.

HS đồng biến trên $\left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{2m + 1}} \le 0 \Leftrightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1$

Kết hợp $m < - \frac{1}{2}$ được $- 1 \le m < - \frac{1}{2}$