Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (0;1) x^2-4x-3m-5>0

Đáp án:

$m \le -\dfrac{8}{3}.$

Giải thích các bước giải:

$x^2-4x-3m-5>0 \ \forall \ x \in (0;1)\\ \Leftrightarrow x^2-4x-5>3m \ \forall \ x \in (0;1)\\ \Leftrightarrow f(x)>3m \ \forall \ x \in (0;1)\\ \Leftrightarrow \underset{(0;1)}{min \ } f(x)>3m \ \forall \ x \in (0;1) (1)$

$f(x)=x^2-4x-5$

$-\dfrac{b}{2a}=2, a=2>0 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;2)$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(0;1)$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow f(1) \ge 3m\\ \Leftrightarrow -8 \ge 3m \\ \Leftrightarrow m \le -\dfrac{8}{3}.$