tìm m để 4 căn (x+1)(3-x) ≤ x mủ 2 -2 x+m -3 nghiệm đúng với mọi x thuộc [-1;3]

Đáp án:

\(m \geq 8\)

Giải thích các bước giải: \[\begin{array}{l} 4\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} \le {x^2} - 2x + m - 3\\ \Leftrightarrow 4\sqrt {3 + 2x - {x^2}} - {x^2} + 2x + 3 \le m\\ \Leftrightarrow m \ge \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right) + 4\sqrt {3 + 2x - {x^2}} \,\,\,\left( * \right)\\ Dat\,\,\,\sqrt {3 + 2x - {x^2}} = t\,\, \Rightarrow {t^2} = 3 + 2x - {x^2}\\ x \in \left[ { - 1;\,\,3} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,2} \right]\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow m \ge {t^2} + 4t\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} \left( {{t^2} + 4t} \right)\\ Co\,\,\,f\left( t \right) = {t^2} + 4t \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = - 2\,\, \notin \left[ {0;\,\,2} \right]\\ f\left( 0 \right) = 0;\,\,\,\,f\left( 2 \right) = 8\\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} \left( {{t^2} + 4t} \right) = 8\\ \Rightarrow m \ge 8. \end{array}\]