Tìm GTNN của hàm số `y=frac{4}{x}+frac{9}{1-x}`(Chi tiết từng bước)

Áp dụng BĐT Côsi-Schawars, ta có:

Vì `0<x<1` `=>``x>0` `=>1-x>0`

`=>y=frac{4}{x}+frac{9}{1-x}==frac{2^2}{x}+frac{3^2}{1-x}\geqfrac{(2+3^2)}{x+1-x}=25`

Dấu `"="` xảy ra

`<=>\frac{2}{x}= \frac{3}{1-x} `

`<=>2(1-x)=3x`

`<=>x=\frac{2}{5}`

Vote cho mod ở trên 5 sao, mod làm ghê v:o

Đáp án:

`y_{min}=25<=>x=2/5` 

Giải thích các bước giải:

`y=4/x+9/{1-x}` `(0<x<1)`

`={4-4x+4x}/x+{9-9x+9x}/{1-x}`

`={4-4x}/x+{4x}/x+{9-9x}/{1-x}+{9x}/{1-x}`

`={4(1-x)}/x+4+9+{9x}/{1-x}`

`={4(1-x)}/x+{9x}/{1-x}+13`

Vì `0<x<1=>1-x>0`

`=>{4(1-x)}/x>0; {9x}/{1-x}>0`

Áp dụng BĐT Cosi với hai số dương `{4(1-x)}/x; {9x}/{1-x}` ta có:

`{4(1-x)}/x+{9x}/{1-x}\ge 2\sqrt{{4(1-x)}/x . {9x}/{1-x}}=12`

`=>{4(1-x)}/x+{9x}/{1-x}+13\ge 12+13`

`=>y\ge 25`

Dấu "=" xảy ra khi:

`\qquad {4(1-x)}/x={9x}/{1-x}`

`<=>4(1-x)^2=9x^2`

`<=>4-8x+4x^2=9x^2`

`<=>5x^2+8x-4=0`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}x=-2\ (loại)\\x=\dfrac{2}{5}\ (thỏa\ mãn)\end{array}\right.$

Vậy khi `0<x<1` thì $GTNN$ của `y` bằng `25` khi `x=2/ 5`