Tìm GTNN CỦA HÀM SỐ SAU : y=4x^2+4x+6/2x-1, x>1/2

Đáp án: GTNN y=10

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
y = \frac{{4{x^2} + 4x + 6}}{{2x - 1}}\\
 = \frac{{4{x^2} - 4x + 1 + 8x + 5}}{{2x - 1}}\\
 = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4\left( {2x - 1} \right) + 9}}{{2x - 1}}\\
 = \left( {2x - 1} \right) + 4 + \frac{9}{{2x - 1}}\\
 = \left( {2x - 1} \right) + \frac{9}{{2x - 1}} + 4\\
Do:x > \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {2x - 1} \right) > 0\\
Theo\,Co - si:\\
\left( {2x - 1} \right) + \frac{9}{{2x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {2x - 1} \right).\frac{9}{{2x - 1}}}  = 2.\sqrt 9  = 6\\
 \Rightarrow \left( {2x - 1} \right) + \frac{9}{{2x - 1}} + 4 \ge 10\\
Dấu\, = \,xảy\,ra \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right) = \frac{9}{{2x - 1}}\\
 \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = 9\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - 1 = 3\\
2x - 1 =  - 3\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow x = 2\left( {tm} \right)
\end{array}$

Vậy GTNN của y là 10 khi và chỉ khi x=2