Tìm giá trị thực cảu tham số m để cặp phương trình sau tương đương 2x^2+mx-2=0 (1) và 2x^3+(m+4)x^2+2(m-1)x-4=0 (2)

Xét ptrinh

$(1) <-> 2x^2 + mx - 2 = 0$

Có $\Delta = m^2 +16 > 0$

Vậy ptrinh này luôn có 2 nghiệm phân biệt

$x = \dfrac{-m\pm \sqrt{m^2+16}}{4}$

Mặt khác, ta có

$(2) <-> 2x^3 + mx^2 - 2x + 2(2x^2 + mx - 2) = 0$

$<-> x(2x^2 + mx - 2) + 2(2x^2 + mx - 2) = 0$

$<-> (x+2)(2x^2 + mx - 2) = 0

Nghiệm của ptrinh này là -2 và $\dfrac{-m\pm \sqrt{m^2+16}}{4}$.

Để 2 ptrinh tương đương thì tập nghiệm của chúng phải trùng nhau.

Do đó một trong hai nghiệm của (1) phải bằng -2. 

Vậy

$\dfrac{-m- \sqrt{m^2+16}}{4}=-2$

$<-> -m-\sqrt{m^2 + 16} = -8$

$<-> -\sqrt{m^2 + 16} = m-8$

$<-> \sqrt{m^2 + 16} = 8-m$

ĐK: $m \leq 8$. Bình phương 2 vế ta có

$m^2 + 16 = m^2 -16m + 64$

$<-> 16m = 48$

$<-> m = 3$

Vậy $m = 3$ thì 2 ptrinh tương đương.

Giải thích các bước giải:

Để hai phương trình đã cho tương đương thì: 

$2x^3+(m+4)x^2+2(m-1)x-4=(ax+b)(2x^2+mx-2)$ và $x=\frac{-b}{a}$ là nghiệm của 2 phương trình đã cho

$(ax+b)(2x^2+mx-2)=2ax^3+(am+2b)x^2+(mb-2a)x-2b\\
2x^3+(m+4)x^2+2(m-1)x-4=(ax+b)(2x^2+mx-2)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2a=2 &  & \\ 
am+2b=m+4&  & \\ 
mb-2a=2(m-1)&  & \\ 
-2b=-4 &  & 
\end{matrix}\right.\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a=1 &  & \\ 
b=2 &  &  
\end{matrix}\right.$

$x=\frac{-b}{a}=-2$ là nghiệm:

$\Rightarrow 2.(-2)^2-2m-2=0\Rightarrow m=3$