Tìm các số thực x y z thỏa mãn các đẳng thức sau: $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ = xy + yz +zx và $x^{2021}$ + $y^{2021}$ + $z^{2021}$ = $9^{1011}$

Đáp án:  $x=y=z=3$

Giải thích các bước giải:

Với ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=xy+yz+zx$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}=2xy+2yz+2zx$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}} \right)+\left( {{y}^{2}}-2yz+{{z}^{2}} \right)+\left( {{z}^{2}}-2zx+{{x}^{2}} \right)=0$

$\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}$

$\Leftrightarrow x=y=z$

Như vậy ${{x}^{2021}}+{{y}^{2021}}+{{z}^{2021}}={{9}^{1011}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2021}}+{{x}^{2021}}+{{x}^{2021}}={{\left( {{3}^{2}} \right)}^{1011}}$

$\Leftrightarrow 3{{x}^{2021}}={{3}^{2022}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2021}}={{3}^{2021}}$

$\Leftrightarrow x=3$

Vậy $x=y=z=3$