Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax3+bx2+cx+d sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; f(0) = 0 đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1 nhanh nha
2 câu trả lời
`\text{Harry}`
Ta có `f’(x) = 3ax^2+2bx+c => f' (0)=c;f' (1)=3a+2b+c`
Vì `f(0) = 0 ⇒ d= 0`
`\text{Hàm số đạt cực tiểu tại}`` x = 0` nên` f’(0) = 0 ⇒ c =0; f(1) = a + b = 1`
`\text{Hàm số đạt cực đại tại điểm}`` x = 1` nên `f’(1) = 0 ⇒ 3a + 2b = 0`
Giải hệ `{(a+b=1),(3a+2b=0):}`
ta được `a = -2; b = 3`
Vậy `f(x) = -2x^3+3x^2`
Thử lại `f’(x) = -6x^2+6x;f'' (x)=-12x+6`
Ta có:`f'(x)=0<=>`$\left[\begin{matrix} x=0\\ x=1\end{matrix}\right.$
`f’(0) > 0. \text{Hàm số đạt cực tiểu tại điểm} x = 0`
`f’(1) = -6 < 0\text{. Hàm số đạt cực đại tại} x = 1`
Đáp số: `a = -2; b = 3; c = 0 ; d = 0`
Đáp án:
$\begin{cases} a=-2\\b=3\\c=d=0 \end{cases}$
Giải thích các bước giải:
Có : `f'(x)=3ax^2+2bx+c`
Và `f"(x)=6ax+2b`
Để hàm số đạt cực tiểu tại `x=0;f(0)=0` và đạt cực đại tại `x=1;f(1)=1`
`⇔` $\begin{cases} f(0)=0;f(1)=1\\f'(0)=0;f'(1)=0\\f"(0)>0;f"(0)<0 \end{cases}$
`⇔`$\begin{cases} d=0\\a+b+c+d=1\\c=0\\3a+2b+c=0\\2b>0;6a+2b<0\end{cases}$
`⇔`$\begin{cases} a=-2\\b=3\\c=d=0 \end{cases}$
Vậy với $\begin{cases} a=-2\\b=3\\c=d=0 \end{cases}$ thoả mãn YCBT