Pt x^2-3x+k-1=0. Xác định gtri của k để pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1^3-x2=7 Biểu thức M=x1^2-x1x2+x2^2-3x1+3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm k để pt có hai nghiệm phân biệt lập thành hai số nguyên cách nhau 5 đơn vị trên trục số

Ta có: ${\Delta}=13-4k$

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta >0$

$\Rightarrow k<\dfrac{13}{4}$.

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm là:

$\dfrac{3-\sqrt{13-4k}}{2}$ và $\dfrac{3+\sqrt{13-4k}}{2}$.

Đáp án:

a) $k=3$ b) $k=3$ c) $k=-3$

Giải thích các bước giải: Phương trình ${x^2} - 3x + k - 1 = 0$ có $\Delta = 9 - 4\left( {k - 1} \right) = 13 - 4k$. Phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ $\Leftrightarrow \Delta = 13 - 4k \ge 0 \Leftrightarrow k \le \dfrac{{13}}{4}$. Theo Vi – et $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = k - 1\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$. a) $x_1^3 - {x_2} = 7 \Leftrightarrow {x_2} = x_1^3 - 7$ thay vào $\left( 1 \right)$ được: ${x_1} + x_1^3 - 7 = 3 \Leftrightarrow x_1^3 + {x_1} - 10 = 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {x_1^2 + 2{x_1} + 5} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} - 2 = 0\\x_1^2 + 2{x_1} + 5 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1} = 2$ $\Rightarrow {x_2} = {2^3} - 7 = 1$ Khi đó $k - 1 = {x_1}{x_2} = 2.1 = 2 \Rightarrow k = 3$ (TM) Vậy $k = 3$. b) $M = x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2 - 3{x_1} + 3$ đạt GTNN Ta có: $M = x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2 - 3{x_1} + 3$$= \left( {x_2^2 - {x_1}{x_2} + \dfrac{1}{4}x_1^2} \right) + 3\left( {\dfrac{1}{4}x_1^2 - {x_1} + 1} \right)$ $= {\left( {{x_2} - \dfrac{1}{2}{x_1}} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{2}{x_1} - 1} \right)^2} \ge 0$ Suy ra $M \ge 0$ hay ${M_{\min }} = 0$ khi $\left\{ \begin{array}{l}{x_2} - \dfrac{1}{2}{x_1} = 0\\\dfrac{1}{2}{x_1} - 1 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{1}{2}{x_1}\\{x_1} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} = 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow k - 1 = {x_1}{x_2} = 2.1 = 2 \Rightarrow k = 3$ (TM) Vậy $k = 3$. c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{13}}{4}$. Khi đó phương trình có hai nghiệm nguyên phân biệt, giả sử ${x_1} < {x_2}$. Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_2} - {x_1} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 1 \in \mathbb{Z}\\{x_2} = 4 \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\left( {TM} \right)$ suy ra $k - 1 = {x_1}{x_2} = \left( { - 1} \right).4 = - 4$$\Rightarrow k = - 3$. Vậy $k = - 3$.