Phản chứng : Cho số tự nhiên N , nếu n^3 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3

Giả sử rằng $n^3$ chia hết cho 3 nhưng $n$ ko chia hết cho 3.

Do đó, $n$ chia 3 dư 1 hoặc $n$ chia 3 dư 2.

TH1: $n$ chia 3 dư 1.

Khi đó, $n = 3k + 1$ và

$$n^3 = (3k+1)^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 = 3(9k^3 + 3k^2 + 3k) + 1$$

Đặt $m = (9k^3 + 3k^2 + 3k)$, khi đó ta có

$$n^3 = 3m+1$$

Do đó $n^3$ chia 3 dư 1 hay $n^3$ ko chia hết cho 3. Điều này mâu thuẫn vs giả thiết.

TH2: $n$ chia 3 dư 2.

Khi đó, $n = 3k + 2$ và

$$n^3 = (3k+2)^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 = 3(9k^3 + 18k^2 + 12k+2)+2$$

Đặt $m = (9k^3 + 18k^2 + 12k+2)$, khi đó ta có

$$n^3 = 3m+2$$

Do đó $n^3$ chia 3 dư 2 hay $n^3$ ko chia hết cho 3. Điều này mâu thuẫn vs giả thiết.

Do đó, $n$ phải chia hết cho 3.