Làm giúp em bài này vs ạ ! Cho các số thực dương a,b,,c thỏa mãn : a^2 + b^2 + c^2 = 1 . CMR : $\frac{a^{2}}{1 + 2bc}$ + $\frac{b^{2}}{1 + 2ac}$ + $\frac{c^{2}}{1 + 2ba}$ $\geq$ $\frac{3}{5}$

Bạn tham khảo nhé

Đặt `A=a^2/(1+2bc)+b^2/(1+2ac)+c^2/(1+2ab)`

`= a^4/(a^2+2a^2bc) + b^4/(b^2 +2ab^2c) + c^4/(c^2+2abc^2)`

Áp dụng BĐT Cộng mẫu ta được :

`A>=(a^2+b^2+c^2)^2/(a^2+b^2+c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2)`

`>= (a^2+b^2+c^2)^2/(a^2+b^2+c^2+2abc(a+b+c))`

Ta sẽ chứng minh BĐT `a^4+b^4+c^4>= abc(a+b+c)`

Áp dụng BĐT Cô-si có :

`a^4+b^4>= 2a^2b^2`

`b^4+c^4>= 2b^2c^2`

`a^4+c^4>= 2a^2c^2`

`->a^4+b^4+c^4>= a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2`

Áp dụng tiếp BĐT Cô-si có :

`a^2b^2+b^2c^2>= 2ab^2c`

`b^2c^2+a^2c^2>= 2 abc^2`

`a^2b^2+a^2c^2>= 2a^2bc`

`->a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2>= ab^2c+abc^2+a^2bc=abc(a+b+c)`

`->a^4+b^4+c^4>= abc(a+b+c)`

`-> a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 >= abc(a+b+c) +2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2`

`->(a^2+b^2+c^2)^2 >= abc (a+b+c) + 2 abc(a+b+c)`

`->(a^2+b^2+c^2)^2>=3abc(a+b+c)`

`->2/3 (a^2+b^2+c^2)^2>= 2abc(a+b+c)`

`-> A>= (a^2+b^2+c^2)^2/(a^2+b^2+c^2+2/3 (a^2+b^2+c^2)^2)`

`->A>= 1^2/(1+2/3 . 1)`

`->A>=3/5`

Dấu "`=`" xảy ra khi `a=b=c=\sqrt{1/3}` (Do `a,b,c>0`)