gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x^2-(2m+1)x+m^2+1=0.Tìm giá trị nguyên của m để P=4x1x2/x1+x2 có giá trị nguyên.

Đáp án:

$m=\{-1;-3\}$

Giải thích các bước giải:

$x^2-(2m+1)x+m^2+1=0$

Để pt có 2 nghiệm thì $Δ\ge0$

$\Leftrightarrow (2m-1)²-4(m²+1)\ge0$

$\Leftrightarrow 4m²-4m+1-4m²-4\ge0$

$\Leftrightarrow m\le\dfrac{-3}{4}$ 

Hệ thức Vi-et:

$\begin{cases}x_1+x_2=2m+1\\ x_1.x_2=m²+1\end{cases}$

$P=\dfrac{4x_1x_2}{x_1+x_2} =\dfrac{4(m^2+1)}{2m+1} $

$=\dfrac{4m^2+4m+1-4m-2+5}{2m+1} =2m+1-2+\dfrac{5}{2m+1}$ 
Để P nguyên khi 5 chia hết cho 2m+1
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}2m+1=-1\\2m+1=1\\2m+1=-5\\2m+1=5\end{array} \right.\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}m=-1\\m=0\\m=-3\\m=2\end{array} \right.\) 

mà $m<\dfrac{-3}{4}$ 

$\Rightarrow m=\{-1;-3\}$