Giải phương trình: (x+3)$\sqrt[2]{x+4}$ + (x+9)$\sqrt[2]{x+11}$ = $x^{2}$ + 9x +10

Đáp án:

 ////

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

\[x = 5\]

Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ:  \(x \ge  - 4\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {x + 3} \right)\sqrt {x + 4}  + \left( {x + 9} \right)\sqrt {x + 11}  = {x^2} + 9x + 10\\
 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right).\left( {\sqrt {x + 4}  - 3} \right) + \left( {x + 9} \right)\left( {\sqrt {x + 11}  - 4} \right) = {x^2} + 9x + 10 - 3\left( {x + 3} \right) - 4\left( {x + 9} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right).\frac{{x + 4 - {3^2}}}{{\sqrt {x + 4}  + 3}} + \left( {x + 9} \right).\frac{{x + 11 - {4^2}}}{{\sqrt {x + 11}  + 4}} = {x^2} + 2x - 35\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{\sqrt {x + 4}  + 3}} + \frac{{\left( {x + 9} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{\sqrt {x + 11}  + 4}} = \left( {x - 5} \right)\left( {x + 7} \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
\frac{{x + 3}}{{\sqrt {x + 4}  + 3}} + \frac{{x + 9}}{{\sqrt {x + 11}  + 4}} = x + 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 7 - \frac{{x + 3}}{{\sqrt {x + 4}  + 3}} - \frac{{x + 9}}{{\sqrt {x + 11}  + 4}} = 0\\
 \Leftrightarrow 2x + 14 - \frac{{2x + 6}}{{\sqrt {x + 4}  + 3}} - \frac{{2x + 18}}{{\sqrt {x + 11}  + 4}} = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\left( {x + 4} \right) - \frac{{2x + 6}}{{\sqrt {x + 4}  + 3}}} \right] + \left[ {\left( {x + 10} \right) - \frac{{2x + 18}}{{\sqrt {x + 11}  + 4}}} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 4}  + 3x + 12 - 2x - 6}}{{\sqrt {x + 4}  + 3}} + \frac{{\left( {x + 10} \right)\sqrt {x + 11}  + 4x + 40 - 2x - 18}}{{\sqrt {x + 11}  + 4}} = 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 4}  + x + 6}}{{\sqrt {x + 4}  + 3}} + \frac{{\left( {x + 10} \right)\sqrt {x + 11}  + 2x + 22}}{{\sqrt {x + 11}  + 4}} = 0\\
x \ge  - 4 \Rightarrow \frac{{\left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 4}  + x + 6}}{{\sqrt {x + 4}  + 3}} + \frac{{\left( {x + 10} \right)\sqrt {x + 11}  + 2x + 22}}{{\sqrt {x + 11}  + 4}} > 0
\end{array}\)

Suy ra phương trình (1) vô nghiệm

Vậy \(x = 5\)