giải phương trình đối xứng loại 2 2x^2=y+1/x 2y^2=x+1/y
1 câu trả lời
Lấy ptrinh trên trừ ptrinh dưới ta có
$2x^2 - 2y^2 = y-x + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}$
$<-> 2(x^2 - y^2) = -(x-y) + \dfrac{y-x}{xy}$
$<-> 2(x-y)(x+y) + (x-y) + \dfrac{x-y}{xy} = 0$
$<-> (x-y)(2x + 2y + 1 + \dfrac{1}{xy}) = 0$
Vậy $x = y$ hoặc $2x + 2y + 1 + \dfrac{1}{xy}=0$
TH1: $x = y$.
THay vào ptrinh đầu ta có
$2x^2 = x + \dfrac{1}{x}$
$<-> 2x^3 = x^2 + 1$
$<-> 2x^3 - x^2 - 1 = 0$
$<-> (x-1)(x^2 +1) = 0$
Ta thấy rằng $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$. Do đó $x = 1$ là nghiệm duy nhất.
Vậy $x = y = 1$
TH2: $2x + 2y + 1 + \dfrac{1}{xy} = 0$
Quy đồng 2 vế ta có
$2x^2y + 2y^2x + xy + 1 = 0$
Ta thấy vế trái lớn hơn 0 với mọi $x,y$, do đó ptrinh vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm $S = \{ (1,1)\}$
