`ΔABC` có đặc điểm gì nếu: `{(cos(A+C)+3cosB=1),((b^3+c^3-a^3)/(b+c-a=a^2)):}` với `a=BC;b=AC;c=AB`

Vì tam giác $ABC$ đều nên ta có $A+B+C=180^o\Rightarrow A+C=180^o-B$

$\Rightarrow cos(A+C)=cos(180^o-B)=-cosB$

$\begin{array}{l}  \Rightarrow \cos \left( {A + C} \right) + 3\cos B = 1\\  \Leftrightarrow 3\cos B - \cos B = 1\\  \Leftrightarrow \cos B = \dfrac{1}{2}\\  \Rightarrow B = {60^o}\left( {{0^o} < B < {{180}^o}} \right) \end{array}$  

Sử dụng giả thiết thứ hai:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{{b^3} + {c^3} - {a^3}}}{{b + c - a}} = {a^2}\\
 \Leftrightarrow {b^3} + {c^3} - {a^3} = {a^2}b + {a^2}c - {a^3}\\
 \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right) = {a^2}\left( {b + c} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2} - {a^2}} \right) = 0\\
 \Rightarrow {b^2} - bc + {c^2} - {a^2} = 0\\
 \Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = bc\\
 \Rightarrow \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{bc}}{{2bc}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow \cos A = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A = {60^o}\left( {{0^o} < A < {{180}^o}} \right)
\end{array}$

Từ đó suy ra $A=B=C=60^o$ hay tam giác $ABC$ đều.