chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của n biểu thức sau luôn có giá trị nguyên A= n^3-n / 6

Đặt

B = n * (n^2-1) = n * (n-1) * (n+1)

Ta sẽ chứng minh B chia hết cho 6. Thật vậy:

- Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2 => B chia hết cho 2

- Nếu n lẻ thì n+1 chia hết cho 2 => B chia hết cho 2

Vậy B luôn chia hết cho 2

- Nếu n chia hết cho 3 => B chia hết cho 3

- Nếu n chia cho 3 dư 1 => n-1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3

- Nếu n chia cho 3 dư 2 => n+1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3

Vậy B luôn chia hết cho 3

Mà (2,3) = 1

=> B chia hết cho 2* 3 = 6

=> A = B/6 luôn là 1 số nguyên.

=> ĐPCM

Giải thích các bước giải:

Ta có : $n^3-n$

$ = n.(n^2-1)$

$ = n.(n-1).(n+1)$

Do $n$ nguyên nên $n-1,n,n+1$ là $3$ số nguyên liên tiếp.

$⇒$ $\left\{ \begin{array}{l}(n-1).n.(n+1) \vdots 2\\(n-1).n.(n+1) \vdots 3\end{array} \right.$

 Mà $(2,3) =1$ và $2×3=6$

$⇒(n-1).n.(n+1) \vdots 6$

Do đó : $A = \dfrac{n^3-n}{6}$ luôn nhận giá trị nguyên với $n∈Z$