chứng minh rằng hàm số y=x^3-x^2+x-5 tăng trên R

Giả sử $x_1 < x_2$. Khi đó, ta xét

$y(x_1) - y(x_2) = x_1^3 - x_1^2 + x_1 -5 - (x_2^3 - x_2^2 + x_2 - 5)$

$= x_1^3 -x_2^3 -x_1^2 + x_2^2 + x_1 -x_2$

$= (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2) - (x_1 -x_2)(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2)$

$= (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 -x_1 - x_2 + 1)$

$= \dfrac{1}{2} (x_1 - x_2)[(x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2) +  (x_1^2 - 2x_1 + 1) + (x_2^2 - 2x_2 + 1)] $

$= \dfrac{1}{2} (x_1 - x_2)[(x_1 + x_2)^2 + (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2]$

Ta có

$(x_1 + x_2)^2 + (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2 \geq 0$ với mọi $x_1, x_2$

lại có $x_1 < x_2$ nên $x_1 - x_2 < 0$, suy ra

$\dfrac{1}{2} (x_1 - x_2)[(x_1 + x_2)^2 + (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2] \leq 0$

$<-> y(x_1) - y(x_2) \leq 0$

Vậy ta có với $x_1 < x_2$ thì $y(x_1) \leq y(x_2)$.

Do đó hso tăng trên $\mathbb{R}$.