Chứng minh rằng √3 là số vô tỷ

Giả sử  là số hữu tỉ,

Tức  (m, n ∈ Z, n ≠ 0, (m, n) = 1)

Suy ra: 

Do đó m²⋮3, mà 3 là số nguyên tố nên m⋮3

⇒ m = 3k ⇒ m² = (3k)² = 9k², thay vào (1) ta được: 9k² = 3n²

⇒ n² = 3k², suy ra n² ⋮ 3 ⇒ n ⋮ 7 (vì 7 là số nguyên tố)

Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, mâu thuẫn với giả thiết (m, n) = 1

Nên giả sử sai.

Vậy là số vô tỉ. (đpcm)

CHÚC BẠN HỌC TỐT !

CHO MÌNH XIN HAY NHẤT+5*+CẢM ƠN NHA! THANKS BẠN.

@tomodo

Đơn giản.

Giả sử phản chứng rằng $\sqrt{3}$ là một số hữu tỉ. Khi đó, nó có thể viết được dưới dạng là một phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tức là

$$\sqrt{3} = \dfrac{a}{b}$$

Đẳng thức trên tương đương vs

$$a^2 = 3b^2$$

Do 3 là một số nguyên tố nên $a$ phải chia hết cho 3. Đặt $a = 3k (k \in \mathbb{Z}$. Khi đó, thay lại a vào đẳng thức trên ta thu được

$$b^2 = 3k^2$$

Lập luận tương tự như trên, $b$ cũng chia hết cho 3.

Theo hai kết luận trên, $a$ và $b$ đều chia hết cho 3. Điều này là vô lý do phân số $\dfrac{a}{b}$ là một phân số tối giản. Vậy giả sử phản chứng là sai.

Do đó $\sqrt{3}$ ko phải một số hữu tỉ nên nó là một số vô tỷ.