chứng minh nếu a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau thì tổng a+b và tích a.b cũng nguyên tố cùng nhau
2 câu trả lời
Đáp án: ƯCLN(ab,a+b)=1
Lời giải:
Gọi k là ước nguyên tố của ab và a+b (k∈N*)
=> ab chia hết cho k và a+b chia hết cho k.
Vì ab chia hết cho k => a chia hết cho k và b chia hết cho k (Vì k là số nguyên tố)
Do a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau nên:
Giả sử: a chia hết cho k thì b chia hết cho k (vì a+b chia hết cho k)
=> k ∈ ƯC(a;b). Mà ƯCLN(a,b)=1
=> k=1(trái với k là số nguyên tố)
Do đó ab và a+b không thể có ước nguyên tố chung.
=> ƯCLN(ab,a+b)=1
Giả sử $k$ là ước nguyên tố của $ ab$ và $a+b$ $(k\in\mathbb N^*)$
$\Rightarrow ab$ $\vdots$ $ k$ và $a+b$ $\vdots$ $k$.
Vì $ab$ $\vdots$ $ k\Rightarrow a$ $\vdots$ $ k$ hoặc $b$ $\vdots$ $ k$
Vì $a+b$ $\vdots$ $k\Rightarrow a$ $\vdots$ $ k$ và $b$ $\vdots$ $ k$$\Rightarrow k \in ƯC(a;b)$
Mà nếu $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau (hay $(a,b)=1)$ thì $ƯCLN(a,b)=1$
$\Rightarrow k=1$ không phải là số nguyên tố trái với giả thiết đặt ra
Do đó không tồn tại ước nguyên tố $k$ của $ ab$ và $a+b$ $k\in\mathbb N^*$
Do đó $ab$ và $a+b$ nguyên tố cùng nhau
$(ab,a+b)=1$ (đpcm).
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
