chứng minh 3^1+3^2+3^3+....+3^2020+3^2021+3^2022 chia hết cho 26

Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

 Đặt `A=3^1+3^2+3^3+....+3^2020+3^2021+3^2022`

Ta có:

`A=3^1+3^2+3^3+....+3^2020+3^2021+3^2022`

`=(3^1+3^2) + (3^3+3^4) + .... + (3^2019 + 3^2020) + (3^2021 + 3^2022)`

`= 3 (1+3) + 3^3 (1+3) + .... + 3^2019 (1+3) + 3^2021 (1+3)`

`=3 . 4  + 3^3 . 4 + .... + 3^2019 . 4 + 3^2021 . 4`

`=4. (3+3^3+...+3^2019+3^2021)`

Ta thấy `4\vdots2`

`=>4. (3+3^3+...+3^2019+3^2021) \vdots2    (1)`

Lại có:

`A=3^1+3^2+3^3+....+3^2020+3^2021+3^2022`

`=(3^1 + 3^2 + 3^3) + (3^4+3^5+3^6) + .... + (3^2020 + 3^2021 + 3^2022)`

`=3 (1+3+3^2) + 3^4 (1+3+3^2) + ... + 3^2020 (1+3+3^2)`

`=3 . 13 + 3^4 . 13 + ...  + 3^2020 . 13`

`=13 . (3 + 3^4 + .... + 3^2020)`

Thấy `13\vdots13`

`=>13 . (3 + 3^4 + .... + 3^2020)\vdots13   (2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=>A \vdots 2.13`

`=>A \vdots 26`

Vậy, `3^1+3^2+3^3+....+3^2020+3^2021+3^2022\vdots 26`

Đặt `A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ...  + 3^2020 + 3^2021 + 3^2022`

` = (3^1+3^2) + (3^3+3^4) + .... + (3^2019 + 3^2020) + (3^2021 + 3^2022)` (có `1011` nhóm)

` = 3 (1+3) + 3^3 (1+3) + .... + 3^2019 (1+3) + 3^2021 (1+3)`

` = 3 . 4  + 3^3 . 4 + .... + 3^2019 . 4 + 3^2021 . 4`

` = 4 (3+3^3+...+3^2019+3^2021)`

Ta thấy : `3+3^3+....+3^2019+3^2021 \in NN**` và `4 \vdots 2`

`=> 4 (3+3^3+...+3^2019+3^2021) \vdots 2`

`=> A \vdots 2 (1)`

``

`A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ...  + 3^2020 + 3^2021 + 3^2022`

`=  (3^1 + 3^2 + 3^3) + (3^4+3^5+3^6) + ....  (3^2020 + 3^2021 + 3^2022)` (có `674` nhóm)

`=  3 (1+3+3^2) + 3^4 (1+3+3^2) + ... + 3^2020 (1+3+3^2)`

` = 3 . 13 + 3^4 . 13 + ...  + 3^2020 . 13`

`=  13 . (3 + 3^4 + .... + 3^2020)`

Ta thấy : `3 + 3^4  +....+3^2020 \in NN**` và `13 \vdots 13`

`=> 13 . (3 + 3^4 + .... + 3^2020) \vdots 13`

`=> A \vdots 13 (2)`

Từ `(1) ; (2)` suy ra : `A \vdots 2  . 13` (do `(2,13)=1`)

`=> A \vdots26`