Cho x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z=3 CMR: x ² + y ² + z ² + xyz ≥ 4

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có x+y+z=3 $\rightarrow$ (1-x)+(1-y)+(1-z)=0

Trong ba số 1-x,1-y,1-z tồn tại hai số cùng dấu.

Do vai trò của x,y,z như nhau nên giả sử 1-x,1-y cùng dấu

$=> (1-x)(1-y)\geq 0\Leftrightarrow 1+xy\geq x+y \Rightarrow z+xyz \geq xz+yz \quad \text{hay} \quad xyz \geq xz+yz-z\\

=> A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz >= x^{2}+y^{2}+z^{2}+xz+yz-z\\

\Leftrightarrow A \geq z^{2}+y^{2}+z(x+y+z)-z\\

\Leftrightarrow A\geq x^{2}+y^{2}+3z-z=x^{2}+y^{2}+2z=x^{2}+y^{2}+2(3-x-y)\\

\Leftrightarrow A\geq x^{2}+y^{2}-2(x+y)+6\\

\text{Mặt khác}x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}* (x+y)^{2} \Rightarrow A\geq \frac{1}{2}*(x+y)^{2}-2(x+y)+6= \frac{1}{2}(x+y-2)^{2}+4 \geq 4\\

\text{Vậy min A=4. Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi x=y=1=> z=1}$