Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x^{4}$ + $y^{4}$ + $\frac{1}{xy}$ = xy +2. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P = xy lần lượt là : A. 1 và 2 B. $\frac{1}{2}$ và 1 C. 0 và 1 D. $\frac{1}{4}$ và 1

Vì $x,y$ là hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta được:

$\begin{array}{l}
xy + 2 = {x^4} + {y^4} + \dfrac{1}{{xy}} \ge 2\sqrt {{x^4}{y^4}}  + \dfrac{1}{{xy}}\\
 \Leftrightarrow xy + 2 \ge 2{x^2}{y^2} + \dfrac{1}{{xy}}\\
 \Leftrightarrow {x^2}{y^2} + 2xy \ge 2{x^3}{y^3} + 1\\
 \Leftrightarrow 2{x^3}{y^3} - {x^2}{y^2} - 2xy + 1 \le 0\\
 \Leftrightarrow \left( {xy + 1} \right)\left( {xy - 1} \right)\left( {2xy - 1} \right) \le 0\\
x,y > 0 \Rightarrow xy > 0\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy \le \dfrac{1}{2}\\
xy \ge 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\max P = 1\\
\min P = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right. \to B
\end{array}$