Cho x>0, y>0. Chứng minh rằng: $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ + 4 $\geq$ 3($\frac{x}{y}$ + $\frac{y}{x}$)

Đáp án:

$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4≥3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

$<=> \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})≥0$

$<=> \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})≥0$

$<=> (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+2≥0$

$<=> (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2-3.2/2(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+9/4≥1/4$

$<=> (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-3/2)^2≥1/4$

ta có $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}≥2$

$=> \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-3/2≥1/2$

$=> (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-3/2)^2≥1/4(luôn đúng)$ $(DPCM)$

Giải thích các bước giải: