Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minhhai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

Xét $\Delta$ vuông $ ADP$ và $\Delta$ vuông $ ABN$ có:

$AD=AB$

$DP=BN(=\dfrac{1}{2}AB)$

$\Rightarrow \Delta$ vuông $ ADP=\Delta$ vuông $ ABN$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AP=AN\Rightarrow \Delta APN $ cân đỉnh $A$ (1) có:

$\widehat{PAO}=\widehat{DAC}-\widehat{DAP}$

$\widehat{NAO}=\widehat{BAC}-\widehat{BAN}$

Mà $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}$

$\widehat{DAP}=\widehat{BAN}$ (do $\Delta ADP=\Delta ABN$) cmt

$\Rightarrow \widehat{PAO}=\widehat{NAO}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AO$ là trung tuyến của $\Delta APN$ (*)

Do $P$ là trung điểm của $DC$, $N$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow PN$ là đường trung bình $\Delta BCD$

$\Rightarrow \dfrac{CI}{CO}=\dfrac{1}{2}$ ($I=PN\cap CO$)

$\Rightarrow \dfrac{OI}{CO}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{OI}{AO}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{AO}{AO+OI}=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$ (**)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow O$ là trọng tâm $\Delta ANP$

Chứng minh tương tự $O$ cũng là trọng tâm $\Delta CMQ$

Do đó $\Delta ANP$ và $\Delta CMQ$ có cùng trọng tâm $O$ (đpcm).