Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.Gọi M là trung điểm BC.α là góc giữa DM và AC.Khi đó cosα bằng?
2 câu trả lời
Đáp án:
$\cos\alpha = \dfrac{\sqrt3}{6}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $N$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$
$\Rightarrow \begin{cases}MN//AC\\MN = \dfrac12AC = \dfrac{a}{2}\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{(DM;AC)} = \widehat{(DM;MN)} = \widehat{DMN} = \alpha$
Ta có:
$\triangle BCD$ đều cạnh $a,\ M$ là trung điểm $BC\Rightarrow DM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
$\triangle ABD$ đều cạnh $a,\ N$ là trung điểm $AB\Rightarrow DN = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Áp dụng định lý $\cos$ vào $\triangle DMN$ ta được:
$\quad DN^2 = MN^2 + DM^2 - 2MN.DM.\cos\widehat{DMN}$
$\Leftrightarrow \cos\widehat{DMN} = \dfrac{MN^2 + DM^2 - DN^2}{2MN.DM}$
$\Leftrightarrow \cos\alpha = \dfrac{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{3a^2}{4}}{2\cdot \dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}}$
$\Leftrightarrow \cos\alpha = \dfrac{\sqrt3}{6}$
Vậy $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt3}{6}$
Đáp án:
$\dfrac{\sqrt{3}}{6}a$
Giải thích các bước giải:
Từ $M$ kẻ $MA' // AC$
$\to (DM , AC ) = ( A'M , MD)$
$\to \cos \alpha = \dfrac{A'M^2 + MD^2- A'D^2}{2.A'M.MD} = \dfrac{ \Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2 + \Big(\dfrac{a \sqrt{3}}{2} \Big)^2 - \Big(\dfrac{a \sqrt{3}}{2} \Big)^2 }{2.\Big(\dfrac{a}{2}\Big).\Big(\dfrac{a \sqrt{3}}{2} \Big)} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$