Cho tana - 3cota =6 và π/2

• Lớp 10
• Toán Học

Xem đáp án

Đáp án:

$\sin a + \cos a =  - \sqrt {\frac{{11 + 6\sqrt 3 }}{{26}}} \left( {4 - 2\sqrt 3 } \right)$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l} \tan a - 3\cot a = 6\,\,\,\left( {\frac{\pi }{2} < a < \pi } \right)\\  \Leftrightarrow \tan a - \frac{3}{{\tan a}} = 6\\  \Leftrightarrow {\tan ^2}a - 6\tan a - 3 = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan a = 3 + 2\sqrt 3 \\ \tan a = 3 - 2\sqrt 3  \end{array} \right.\\ Do\,\,\,\frac{\pi }{2} < a < \pi  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \tan a < 0\\ \sin a > 0\\ \cos a < 0 \end{array} \right.\\  \Rightarrow \tan a = 3 - 2\sqrt 3 .\\ Ta\,\,co:\,\,\,{\tan ^2}a + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\\  \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{1}{{{{\tan }^2}a + 1}} = \frac{1}{{{{\left( {3 - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + 1}} = \frac{{11 + 6\sqrt 3 }}{{26}}\\  \Rightarrow \cos a =  - \sqrt {\frac{{11 + 6\sqrt 3 }}{{26}}} \\  \Rightarrow \sin a = \tan a.\cos a =  - \left( {3 - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt {\frac{{11 + 6\sqrt 3 }}{{26}}} \\  \Rightarrow \sin a + \cos a =  - \left( {3 - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt {\frac{{11 + 6\sqrt 3 }}{{26}}}  - \sqrt {\frac{{11 + 6\sqrt 3 }}{{26}}} \\  =  - \sqrt {\frac{{11 + 6\sqrt 3 }}{{26}}} \left( {3 - 2\sqrt 3  + 1} \right)\\  =  - \sqrt {\frac{{11 + 6\sqrt 3 }}{{26}}} \left( {4 - 2\sqrt 3 } \right). \end{array}$