cho tam giác QK=5cm, KE=12cm, QE=13cm; đường cao KH. Lấy điểm O trên QE, gọi A và B là hình chiếu của O trên QK,KE. Chứng minh AB=KO, tìm vị trí của điểm O trên QE để diện tích KAOB lớn nhất

Gợi ý:

$ΔQKE$ có : $QK^2+KE^2=QE^2$

$=>ΔQKE$ vuông tại $K$ 

$KAOB$ có 3 góc vuông nên $KAOB$ là hình chữ nhật

$=> OK=AB$

Theo Talet có : $\dfrac{OB}{KQ}=\dfrac{OE}{QE}, \dfrac{KB}{KE}=\dfrac{OQ}{QE}$

$=>OB=\dfrac{5.OE}{13},KB=\dfrac{12.OQ}{13}$

$S_{KAOB}=OB.BK=\dfrac{5OE}{13}.\dfrac{12OQ}{13}=\dfrac{60}{169}.OE.OQ$

Áp dụng BĐT AM-GM có:

$OQ+OE>= 2\sqrt{OQ.OE}$

$=> QE^2>=4 OQ.OE$

$=> 13^2 . \dfrac{60}{169}>= 4 S_{KAOB}$

$=>S_{KAOB}=<15$

Dấu "$=$" xảy ra khi $OQ=OE$

$<=>O$ là trung điểm của $QE$

$<=> ΔQKE$ vuông cân tại $K$