Cho Tam giác đềuABC. Đường cao AD, H là trực tâm của tam giác, M là một điểm bất kì thuộc BC. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M lên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM. a)Tứ giác DEIF là hình gì? b)Chứng minh MH , ID , EF đồng qui. c)Xác định Vị trí của M trên BC để EF có độdài nhỏ nhất?

a) Ta có: \(IE=IF=ID=\dfrac{1}{2}AM=IA=IM\) (Trung tuyến trong tam giác vuông)

Tam giác IAE cân tại I, có \(\widehat {EIM} = \widehat {IAE} + \widehat {IEA} = 2\widehat {IAE}\) (góc ngoài của tam giác)

Tương tự có \(\widehat{MID}=2\widehat{IAD}\).

\(\Rightarrow \widehat{EID}=\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2\widehat{IAE}+2\widehat{IAD}=2\widehat{EAD}={{2.30}^{0}}={{60}^{0}}\).

Tam giác IED có ID = ID, góc EID = 60 độ

=> Tam giác IED đều => IE = ID = ED

CMTT có: Tam giác IFD đều => IF = ID = DF

=> IE = IF = DE = DF => EIFD là hình thoi.

b) EIFD là hình thoi => ID và EF cắt nhau tại TĐ mỗi đường. Gọi O là giao của EF và ID => O là TĐ của EF và ID.

Gọi G là trung điểm của AH.

Ta có : IG là đường TB của tam giác AMH => IG // MH.

OH là đường TB của tam giác AID => OH // IG

=> Qua điểm H kẻ được OH, MH cùng song song với IG

=> O, M, H thẳng hàng => MH đi qua O.

Vậy MH , ID , EF đồng quy tại O.

c) EF nhỏ nhất => OE nhỏ nhất.

Ta có: OE = IE.sin60 = ID.sin60

=> OE nhỏ nhất => ID nhỏ nhất => AM nhỏ nhất => M trùng D.