Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 2a . Gọi AH là đường cao của tam giác ABC, tính |$\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{HC }$ |

Do trọng tâm tam giác đều đồng thời là trực tâm nên GC⊥ABGC⊥AB

Gọi M là trung điểm AB ⇒CM=2a.√32=a√3⇒CM=2a.32=a3 (công thức độ dài trung tuyến tam giác đều)

⇒CG=23CM=2a√33⇒CG=23CM=2a33

Đặt x=∣∣∣−−→AB−−−→GC∣∣∣⇒a2=AB2+GC2−2−−→AB.−−→GC=AB2+GC2x=|AB→−GC→|⇒a2=AB2+GC2−2AB→.GC→=AB2+GC2

⇒x2=(2a)2+(2a√33)2=16a23⇒x=4a√33

Ta có : ` ΔABC ` là tam giác đều 

mà ` AH ` là đường cao 

` ⇒ AH ` đồng thời là đường trung tuyến của ` ΔABC `

` ⇔ ` $\overrightarrow{BH}$ ` = ` $\overrightarrow{HC}$

Theo đề bài, ta có :

` | ` $\overrightarrow{AB}$ ` + ` $\overrightarrow{HC}$ ` | ` 

` = | ` $\overrightarrow{AB}$ ` + ` $\overrightarrow{BH}$ ` | ` 

` = | ` $\overrightarrow{AH}$ ` | ` 

` = AH `

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ` AHB ` , ta có :

` AH² = AB² - HB² `

` AH² = ( 2a )² - a² `

` AH² = 4a² - a² `

` AH² = 3a² `

` AH = √3 a `

Vậy ` | ` $\overrightarrow{AB}$ ` + ` $\overrightarrow{HC}$ ` | = √3 a `