Cho tam giac ABC vuông tại A. Quỹ tích điểm M thỏa mãn MB→+MC→=MA→.BC→+MA² là?

Đáp án:

Đề bị sai ở khúc $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MC}$ nên mình sửa lại thành $\overrightarrow{MB}$ . $\overrightarrow{MC}$

Giải:

Yêu cầu bài toán trở thành 

( $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{AB}$) . ( $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{AC}$) = $\overrightarrow{MA}$ . $\overrightarrow{BC}$ + $MA^{2}$

⇔ $MA^{2}$ + $\overrightarrow{MA}$ ( $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ ) + $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AC}$= $\overrightarrow{MA}$. $\overrightarrow{BC}$ + $MA^{2}$ 

⇔ $\overrightarrow{MA}$($\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$) = $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{AC}$) (*)

Gọi E là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật ABEC. Hệ thức (*) trở thành

$\overrightarrow{MA}$.$\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{MA}$.$\overrightarrow{BC}$

⇔ $\overrightarrow{MA}$($\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AC}$) = 0

⇔ $\overrightarrow{MA}$($\overrightarrow{AE}$ - $\overrightarrow{AC}$) = 0

⇔ $\overrightarrow{MA}$.$\overrightarrow{CE}$ = 0 ⇔ MA ⊥ AC

Vậy điểm M thuộc đường thẳng AB