Cho tam giác `ABC` vuông tại `A`. Có `AD=l` là đường phân giác trong của `∆ABC`, `BC=a`. Tính `S_(∆ABC)`theo`l`và `a`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Kẻ $DE; DF$ theo thứ tự vuông góc với $AB; AC$
tại $E; F => AEDF$ là hình vuông $=> DE = DF = \dfrac{l}{\sqrt{2}}$

Đặt $: AB = x; AC = y => xy = 2S$. Ta có:

$\dfrac{DF}{AB} = \dfrac{CD}{BC} <=> \dfrac{l}{x\sqrt{2}} = \dfrac{CD}{BC} (1)$

$\dfrac{DE}{AC} = \dfrac{BD}{BC} <=> \dfrac{l}{y\sqrt{2}} = \dfrac{BD}{BC} (2)$

$(1) + (2) : \dfrac{l}{x\sqrt{2}} + \dfrac{l}{y\sqrt{2}} = 1$

$<=> l(x + y) = xy\sqrt{2} <=> l^{2}(x + y)^{2} = 8S^{2} (3)$

Mặt khác:

$x^{2} + y^{2} = a^{2} <=> (x + y)^{2} - 2xy = a^{2}$

$<=> l^{2}(x + y)^{2} - 4l^{2}S = a^{2}l^{2} (4)$

Thay $(3)$ vào $(4): 8S^{2} - 4l^{2}S - a^{2}l^{2} = 0$

Giải PT bậc 2 nầy được $: S = \dfrac{l^{2} + l\sqrt{l^{2} + 2a^{2}}}{4}$