Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là một điểm thuộc cạnh BC, kẻ ME ⊥ AB tại E, MF ⊥ AC tại F. O là trung điểm của BC. OFE là tam giác gì? vì sao?

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\text{- Xét tam giác ABC vuông cân tại A có:}$

$\text{AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (O là trung điểm BC)}$

$\Rightarrow$ $AO=BO=CO=$ $\dfrac{1}{2}BC;AO⊥BC $ $\text{tại}$ $O$

$\text{Ta có:} $ $\widehat{EAF}=$ $\widehat{AEM}=$$\widehat{AFM}=90^o$

$\Rightarrow$ $AE=MF ; AB//MF$

$\text{Ta có:} $$\widehat{ABC}=$ $\widehat{FMC}=45^o(AB//MF, $ $\text{tam giác ABC vuông cân tại A)}$

$\text{Mà tam giác MFC vuông tại F (MF⊥AC tại F) nên tam giác MFC vuông cân tại F.} $

$\Rightarrow$ $MF=CF=AE.$

$\text{- Ta có: Tam giác AOB vuông tại O (AO⊥BC tại O) mà AO=BO (cmt) nên tam giác AOB vuông cân tại O.} $

$\text{Xét} $ $\triangle$$OAE$ $\text{và } $$\triangle$$OCF$$\text{có:} $

$OA=OC (cmt)$

$\widehat{OCF}=$$\widehat{OAE}=45^o$ $\text{(tam giác ABC vuông cân tại A, tam giác AOB vuông cân tại O).}$

$AE=CF (cmt)$

$\Rightarrow$ $\triangle$$OAE=$ $\triangle$$OCF(c-g-c)$

$\Rightarrow$ $OE=OF $ $\text{(2 cạnh tương ứng).}$

$\widehat{AOE}=$$\widehat{COF}$ $\text{(2 góc tương ứng) mà }$ $\widehat{COF}+$ $\widehat{AOF}=90^o (AO⊥BC )$ $\text{tại O)}$

$\text{nên}$ $\widehat{AOE}+$ $\widehat{AOF}=90^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{EOF}=90^o$

$\Rightarrow$ $\text{Tam giác OEF vuông tại O mà OE=OF (cmt) nên tam giác OEF vuông cân tại O. }$