cho tam giác ABC với trọng tâm G gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho AK=1/5AB a, hãy phân tích vecto AI,AK,CI,CK theo vecto a=vecto CA,vectob= CB b, chứng minh 3 điểm C,I,K thẳng hàng

a. Gọi $H$ là trung điểm $BC$

và $D$ là trung điểm $AC$

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {CI}  - \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HI} \\  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA}  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CB}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {HA}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {HC}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CA} \\  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CB}  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CA}  - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\overrightarrow {CB}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {CB}  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CA} \\ =\dfrac16\vec b-\dfrac13\vec a\\ \overrightarrow {AK}  = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {AB}  = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {CB}  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {CA} \\ =\dfrac15\vec b-\dfrac15\vec a\\ \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {CA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {CA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CH}  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CA} \\  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CA}  + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {CB} \\ =\dfrac23\vec a+\dfrac16\vec b\\ \overrightarrow {CK}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {CA}  + \dfrac{1}{5}\overrightarrow {CB}  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {CA}  = \dfrac{4}{5}\overrightarrow {CA}  + \dfrac{1}{5}\overrightarrow {CB} \\ =\dfrac45\vec a+\dfrac15\vec b\\ \end{array}\)

b. Chứng minh $C,I,K$ thẳng hàng

Từ câu a) $\vec{CI}=\dfrac23\vec a+\dfrac16\vec b=\dfrac16\left({4\vec a+\vec b}\right)$

$\vec{CK}=\dfrac45\vec a+\dfrac15\vec b=\dfrac15\left({4\vec a+\vec b}\right)$

\(\overrightarrow {CI}  = \dfrac{5}{6}\overrightarrow {CK} \)

$⇒C,I,K$ thẳng hàng