Cho tam giác ABC với A(-1;3) B(3;5) C ( 2,2) Tìm G,I,H lần lượt là trọng tâm, tâm đường trong ngoại tiếp, trực tâm tam giác ABC, Chứng minh G,I,H thẳng hàng Tìm E thuộc Ox sao cho tam giác AEB cân tại B Tìm K thuộc Oy cho tam giác ABC vuông tại B

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB}  = \left( {4;2} \right) \to AB = 2\sqrt 5 \\ \overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 1} \right) \to AC = \sqrt {10} \\ \overrightarrow {BC}  = \left( { - 1; - 3} \right) \to BC = \sqrt {10}  \end{array}$

⇒ ΔABC cân C

Gọi H(x;y) là trực tâm

$\begin{array}{l}  \to \overrightarrow {AH} \left( {x + 1;y - 3} \right)\\ \overrightarrow {BH}  = \left( {x - 3;y - 5} \right)\\  \to \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\ \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0 \end{array} \right.\\  \to \left\{ \begin{array}{l}  - x - 1 - 3y + 9 = 0\\ 3x - 9 - y + 5 = 0 \end{array} \right.\\  \to \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 2 \end{array} \right. \to H\left( {2;2} \right) \end{array}$

Gọi G là trọng tâm ΔABC

$\begin{array}{l}  \to \left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\\ {y_G} = \frac{{3 + 5 + 2}}{3} = \frac{{10}}{3} \end{array} \right.\\  \to G\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right) \end{array}$

Do E∈Ox⇒E(a;0)

Do ΔAEB cân B

Có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB}  = \left( {4;2} \right) \to A{B^2} = 20\\ \overrightarrow {EB}  = \left( {3 - a;5} \right) \to E{B^2} = 9 - 6a + {a^2} + 25\\  \to A{B^2} = E{B^2}\\  \to 9 - 6a + {a^2} + 25 = 20\\  \to {a^2} - 6a + 14 = 0 \end{array}$

⇒ Pt vô nghiệm

⇒ Không tồn tại điểm E thỏa mãn tam giác AEB cân tại B