cho tam giác ABC trên BC lấy điểm E sao cho BE =EC trên AC lấy điểm F sao cho FC =2 x AF kéo dài EF cắt AB tại điểm P TÍNH DIỆN TÍCH ABC BIẾT DIỆN TÍCH APF = 90cm2

Nối PC.

Ký hiệu $d(A, a)$ là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng a.

Ví dụ:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} BC . d(A, BC) = \dfrac{1}{2} . CA . d(B, CA) = \dfrac{1}{2} AB . d(C, AB)$

Ta có

$S_{EFC} = \dfrac{1}{2} FC . d(E, AC) = \dfrac{1}{2} . \dfrac{2}{3} . AC . \dfrac{1}{2} d(B, AC) = \dfrac{1}{6} AC . d(B, AC) = \dfrac{1}{3} S_{ABC}$

Tương tự, ta có

$S_{PFC} = \dfrac{1}{2} CF . d(P, CF) = \dfrac{1}{2} . 2AF . d(P, AF) = 2 S_{PAF} = 2.90 = 180 (cm^2)$

Do $S_{ABC} = S_{FEC} + S{AFEB} = \dfrac{1}{3} S_{ABC} + S_{AFEB}$

Vậy $S_{AFEB} = \dfrac{2}{3} S_{ABC}$

Ta có

$S_{PEC} = \dfrac{1}{2} EC . d(P, EC) = \dfrac{1}{2} . BE . d(P, EB) = S_{PEB}$

Lại có $S_{PEC} = S_{PFC} + S_{FEC}, S_{PEB} = S_{PAF} + S_{AFEB}$

Vậy ta có

$S_{PFC} + S_{FEC} = S_{PAF} + S_{AFEB}$

$<-> 180 + \dfrac{1}{3} S_{ABC} = 90 + \dfrac{2}{3} S_{ABC}$

$<-> 90 = \dfrac{1}{3} S_{ABC}$

$<-> S_{ABC} = 270 (cm^2)$

Vậy diện tích tam giác ABC là 270 $(cm^2)$.