Cho tam giác ABC; M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh AC sao cho AN=3NC. Trên tia đó tia BA lấy điểm P sao cho BA=2BP a, CMR:vectơ AB=2\3vectơ AP, vectơ AC=4/3vectơ An b, CMR: vectơ AM=1/3 vectơ AP+2/3vectơ AN c, Gọi I; J là điểm thoả mãn 3vectơ IA+4vectơ IB=vectơ 0 Vectơ CJ=1/2vectơ BC d, Q là điểm nằm trên cạnh BC CMR:|vectơ BC|×vectơ AQ=|vectơ QC|×vectơ AB+|vectơ QB|×vectơ AC

a) Do P nằm trên tia đối BA nên B nằm giữa AP.

Mặt khác, lại có

$\dfrac{AB}{AP} = \dfrac{2BP}{AB + BP} = \dfrac{2BP}{2BP + BP} = \dfrac{2}{3}$

Vậy ta có

$\vec{AB} = \dfrac{AB}{AP} \vec{AP} = \dfrac{2}{3} \vec{AP}$.

Ta có

$\dfrac{AC}{AN} = \dfrac{AN + NC}{AN} = \dfrac{3NC + NC}{3NC} = \dfrac{4}{3}$

Vậy ta có

$\vec{AC} = \dfrac{AC}{AN} \vec{AN} = \dfrac{4}{3} \vec{AN}$

b) Ta có

$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$

$= \dfrac{2}{3} \vec{AP} + \dfrac{1}{2} \vec{BC}$

$= \dfrac{2}{3} \vec{AP} + \dfrac{1}{2} (\vec{AC} - \vec{AB})$

$= \dfrac{2}{3} \vec{AP} + \dfrac{1}{2} (\dfrac{4}{3} \vec{AN} - \dfrac{2}{3} \vec{AP})$

$= \dfrac{2}{3} \vec{AP} + \dfrac{2}{3} \vec{AN} - \dfrac{1}{3} \vec{AP}$

$= \dfrac{1}{3} \vec{AP} + \dfrac{2}{3} \vec{AN}$