Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác. a) Biểu diễn AB, AC theo hai vectơ AI, AJ và biểu diễn AJ qua AB, AC b) Biểu diễn AG theo hai vectơ AI, AJ

a) $I$ là điểm trên cạnh $BC$ mà: $2CI=3BI\Rightarrow\dfrac{BI}{CI}=\dfrac23$

$\Rightarrow\dfrac{BI}{CI+BI}=\dfrac2{3+2}\Rightarrow\dfrac{BI}{BC}=\dfrac25$

$\Rightarrow BI=\dfrac25BC$ tương tự $IC=\dfrac35BC$

$J$ là điểm trên $BC$ kéo dài: $5JB=2JC\Rightarrow\dfrac{JB}{JC}=\dfrac25$

$\Rightarrow\dfrac{JB}{JC-JB}=\dfrac{2}{5-2}\Rightarrow\dfrac{JB}{BC}=\dfrac23$

$\Rightarrow JB=\dfrac23BC$ và $BC=\dfrac35JC$

$\vec{AB}=\vec{AI}+\vec{IB}$

$=\vec{AI}-\dfrac25\vec{BC}$

$=\vec{AI}-\dfrac25.\dfrac32\vec{JB}$

$=\vec{AI}-\dfrac35\vec{JB}$

$=\vec{AI}-\dfrac35\left({\vec{JA}+\vec{AB}}\right)$

$=\vec{AI}+\dfrac35\vec{AJ}-\dfrac35\vec{AB}$

$\Rightarrow\vec{AB}+\dfrac35\vec{AB}=\vec{AI}+\dfrac35\vec{AJ}$

$\Rightarrow\vec{AB}=\dfrac58\vec{AI}+\dfrac38\vec{AJ}$
 

$\vec{AC}=\vec{AI}+\vec{IC}$

$=\vec{AI}+\dfrac35\vec{BC}$

$=\vec{AI}+\dfrac35.\dfrac35\vec{JC}$

$=\vec{AI}+\dfrac9{25}\left({\vec{JA}+\vec{AC}}\right)$

$\Rightarrow\vec{AC}-\dfrac9{25}\vec{AC}=\vec{AI}-\dfrac9{25}\vec{AJ}$

$\Rightarrow \vec{AC}=\dfrac{25}{16}\vec{AI}-\dfrac9{16}\vec{AJ}$

$\Rightarrow\dfrac52\vec{AB}=\dfrac{25}{16}\vec{AI}+\dfrac{15}{16}\vec{AJ}$

và $\vec{AC}=\dfrac{25}{16}\vec{AI}-\dfrac9{16}\vec{AJ}$

Trừ vế với vế ta có:

$\dfrac52\vec{AB}-\vec {AC}=\dfrac32\vec{AJ}$

$\Rightarrow\vec{AJ}=\dfrac{5}{3}\vec{AB}-\dfrac23\vec{AC}$

b) $\vec{AG}=\dfrac23\vec{AH}$

$=\dfrac23.\dfrac12\left({\vec{AB}+\vec{AC}}\right)$ (sử dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABKC, H là trung điểm của BC)

$=\dfrac13\left({\dfrac58\vec{AI}+\dfrac38\vec{AJ}+\dfrac{25}{16}\vec{AI}-\dfrac9{16}\vec{AJ}}\right)$

$=\dfrac{35}{48}\vec{AI}-\dfrac{1}{16}\vec{AJ}$