Cho tam giác `ABC`. Gọi `I` là điểm thuộc cạnh `BC` sao cho `IC=2IB`. Gọi `E,K` là các điểm thỏa mãn `3\vec{EA}-4\vec{EB}+2\vec{EC}=\vec{0};27\vec{KA}-32\vec{KB}+20\vec{KC}=\vec{0}`. Chứng minh ba điểm `I,E,K` thẳng hàng

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$3\overrightarrow{EA}-4\overrightarrow{EB}+2\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow{AA}-4.\overrightarrow{AB}+2.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}\\ 27.\overrightarrow{KA}-32.\overrightarrow{KB}+20.\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow 27.\overrightarrow{AA}-32.\overrightarrow{AB}+20.\overrightarrow{AC}=-15.\overrightarrow{KA}\\ \Leftrightarrow -32.\overrightarrow{AB}+20.\overrightarrow{AC}=15.\overrightarrow{AK}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\dfrac{-32}{15}.\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}.\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}\\ =\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}.\overrightarrow{BC}\\ =\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\ =\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}.\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}.\overrightarrow{AB}\\ =\dfrac{2}{3}.\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}.\overrightarrow{AC}\\ Để\ I,E,K\ \text{thẳng hàng}\\ \Rightarrow \overrightarrow{EI};\ \overrightarrow{EK}\ \text{cùng phương}\\ \overrightarrow{EK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AE}\\ =(\dfrac{-32}{15}.\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}.\overrightarrow{AC})-(-4\overrightarrow{AB}+2.\overrightarrow{AC})\\ =\dfrac{28}{15}.\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}.\overrightarrow{AC}\ (1)\\ \overrightarrow{EI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AE}\\ =\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}.\overrightarrow{AC}+4.\overrightarrow{AB}-2.\overrightarrow{AC}\\ =\dfrac{14}{3}.\overrightarrow{AB}-\dfrac{5}{3}.\overrightarrow{AC}\ (2)\\ Từ\ (1),(2)\ \Rightarrow \overrightarrow{EK}=\dfrac{2}{5}.\overrightarrow{EI}\\ \to \text{I,E,K thẳng hàng}$