cho tam giác ABC đều cạnh a .Biết rằng tập hợp các điểm N thỏa mãn hệ thức NA.NB+NB.NC+NC.NA(có dấu vecto)=a^2/4 là một đường tròn có bán kính R. tính R

Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$

$\begin{array}{l} \overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NB}  = \left( {\overrightarrow {NI}  + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {NI}  + \overrightarrow {IB} } \right)\\  = {\overrightarrow {NI} ^2} + \overrightarrow {NI} \left( {\underbrace {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} }_{ = \vec{0}}} \right) + \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} \\  = {\overrightarrow {NI} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2}\\ TT:\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NC}  = {\overrightarrow {NJ} ^2} - {\overrightarrow {JB} ^2},\overrightarrow {NC} .\overrightarrow {NA}  = {\overrightarrow {NK} ^2} - {\overrightarrow {KC} ^2}\\  \Rightarrow \overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {NC} .\overrightarrow {NA}  = \dfrac{{{a^2}}}{4}\\  \Rightarrow \left( {{{\overrightarrow {NI} }^2} + {{\overrightarrow {NJ} }^2} + {{\overrightarrow {NK} }^2}} \right) - \left( {{{\overrightarrow {IA} }^2} + {{\overrightarrow {JB} }^2} + {{\overrightarrow {KC} }^2}} \right) = \dfrac{{{a^2}}}{4}\\  \Leftrightarrow {\overrightarrow {NI} ^2} + {\overrightarrow {NJ} ^2} + {\overrightarrow {NK} ^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\\  \Leftrightarrow {\overrightarrow {NI} ^2} + {\overrightarrow {NJ} ^2} + {\overrightarrow {NK} ^2} = {a^2} \end{array}$

Gọi $E$ là điểm thỏa mãn $\vec{EI}+\vec{EJ}+\vec{EK}=\vec{0}$ suy ra $E$ là trọng tâm tam giác $IJK$ hay $E$ cũng chính là trọng tâm của tam giác $ABC$

$\begin{array}{l}
{\overrightarrow {NI} ^2} + {\overrightarrow {NJ} ^2} + {\overrightarrow {NK} ^2} = {a^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {NE}  + \overrightarrow {EI} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {NE}  + \overrightarrow {EJ} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {NE}  + \overrightarrow {EK} } \right)^2} = {a^2}\\
 \Leftrightarrow 3N{E^2} + 2\overrightarrow {NE} \left( {\overrightarrow {EI}  + \overrightarrow {EJ}  + \overrightarrow {EK} } \right) + E{I^2} + E{J^2} + E{K^2} = {a^2}\\
 \Leftrightarrow 3N{E^2} = {a^2} - E{I^2} - E{J^2} - E{K^2}\\
 \Leftrightarrow 3N{E^2} = {a^2} - \dfrac{1}{9}\left( {C{I^2} + A{J^2} + B{K^2}} \right)\\
 \Leftrightarrow 3N{E^2} = {a^2} - \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{3}{4}{a^2} + \dfrac{3}{4}{a^2} + \dfrac{3}{4}{a^2}} \right)\\
 \Leftrightarrow 3N{E^2} = {a^2} - \dfrac{1}{4}{a^2} = \dfrac{3}{4}{a^2}\\
 \Leftrightarrow N{E^2} = \dfrac{1}{4}{a^2} \Rightarrow NE = \dfrac{1}{2}a\\
 \Rightarrow R = \dfrac{1}{2}a
\end{array}$

Tập hợp điểm $N$ là đường tròn tâm $G$ bán kính `1/2a`