Cho tam giác ABC .Đặt CA =vt a ;CB = vtb . Lấy các điểm A’ và B’ sao cho vtCA' = m vta ; CB' = n vtb . Gọi I là giao điểm của A’B và B’A. giả sử vt CI=m vt a+ n vt b , khi đó tỉ số m/n bằng bao nhiêu? vt là vecto nha

Giải thích các bước giải:

Ta có : $A, I, B'$ thẳng hàng

$\to $Áp dụng định lý Menelauyt ta được :
$\dfrac{AC}{AA'}.\dfrac{IA'}{IB}.\dfrac{B'B}{B'C}=1$ 

$\to\dfrac{IA'}{IB}=\dfrac{AA'}{AC}.\dfrac{B'C}{B'B}$ 

$\to\dfrac{IA'}{IB}=(1-m).\dfrac{1}{1-n}$ 

$\to IA'=(1-m).\dfrac{1}{1-n}.IB$ 

$\to IA'+IB=(1+(1-m).\dfrac{1}{1-n}).IB$ 

$\to A'B=\dfrac{2-m-n}{1-n}.IB$ 

$\to \dfrac{BI}{BA'}=\dfrac{1-n}{2-m-n}$

$\to \vec{CI}=\vec{CB}+\vec{BI}=\vec{b}+\dfrac{1-n}{2-m-n}.\vec{BA'}$

$\to \vec{CI}=\vec{b}+\dfrac{1-n}{2-m-n}.(\vec{BC}+\vec{CA'})$

$\to \vec{CI}=\vec{b}+\dfrac{1-n}{2-m-n}.(-\vec{b}+m\vec{a})$

$\to \vec{CI}=\vec{b}.\dfrac{1-m}{2-m-n}+\dfrac{m(1-n)}{2-m-n}\vec{a}$

Mà $\vec{CI}=m\vec a+n\vec b$

$\to \begin{cases}\dfrac{m(1-n)}{2-m-n}=m\\\dfrac{1-m}{2-m-n}=n \end{cases}$

$\to \begin{cases}m(1-n)=m(2-m-n)\\1-m=(2-m-n)n \end{cases}$

$\to \begin{cases}m^2-m=0\\1-m-2n+mn+n^2=0\end{cases}$

$+) m=0\to n^2-2n+1=0\to n=1$

$+) m=1\to n^2-n=0\to n\in\{0,1\}$