Cho tam giác ABC có trọng tâm G và tam giác A'B'C' có trọng tâm G'. CMR: a) tam giác ABC và tam giác A'B'C' có trọng tâm trùng nhau. b) AA' + BB' + CC'= 3 GG' Từ đó suy ra điều kiện càn và đủ để 2 tam giác có trọng tâm trùng nhau

b) Do G là trọng tâm tam giác ABC và G' là trọng tâm tam giác A'B'C' nên ta có $\begin{cases} \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\\ \vec{G'A'} + \vec{G'B'} + \vec{G'C'} = \vec{0} \end{cases}$ Khi đó, ta có \begin{align*} VT = \vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} = &\vec{AG} + \vec{GG'} + \vec{G'A'} \\ &+ \vec{BG} + \vec{GG'} + \vec{G'B'}\\ &+ \vec{CG} + \vec{GG'} + \vec{G'C'}\\ =& -(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC})\\ &+ (\vec{G'A'} + \vec{G'B'} + \vec{G'C'})\\ &+ 3\vec{GG'}\\ =& -\vec{0} + \vec{0} + 3 \vec{GG'} = 3 \vec{GG'} = VP \end{align*} Giả sử trọng tâm tam giác ABC và trọng tâm tam giác A'B'C' trùng nhau, khi đó ta có đẳng thức $\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} = \vec{0}$ Ngược lại, nếu ta có đẳng thức $\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} = \vec{0}$ thì hai tam giác ABC và tam giác A'B'C' có cùng trọng tâm. Vậy để 2 tam giác có trọng tâm trùng nhau thì điều kiện cần và đủ là $\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} = \vec{0}$

Đáp án: `vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = 3vec{GG'}`

Giải thích các bước giải:

- Vì `G` là trọng tâm của `ΔABC`

`=> vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = 0`

- Vì `G'` là trọng tâm của `ΔABC`

`=> vec{G'A'} + vec{G'B'} + vec{G'C'} = 0`

- Áp dụng quy tắc 3 điểm, ta có:

`vec{AA'} = vec{AG} + vec{GG'} + vec{G'A'}`

`vec{BB'} = vec{BG} + vec{GG'} + vec{G'B'}`

`vec{CC'} = vec{CG} + vec{GG'} + vec{G'C'}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = vec{AG} + vec{GG'} + vec{G'A'} + vec{BG} + vec{GG'} + vec{G'B'} + vec{CG} + vec{GG'} + vec{G'C'}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = (vec{AG} + vec{BG} + vec{CG}) + 3vec{GG'} + (vec{G'A'} + vec{G'B'} + vec{G'C'}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = vec{0} + 3vec{GG'} + vec{0}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = 3vec{GG'}`