Cho tâm giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng của B qua G. Tìm các số m,n thích hợp để vecto AI = mAC + nAB

Đáp án: $n = \frac{1}{3},m =  - \frac{2}{3}$

Giải thích các bước giải:

 Gọi BG cắt AC tại K

=> K là trung điểm AC

Vì G là trọng tâm tam giác ABc

=> BG=2GK

Vì I đối xứng B qua G

=> GB=GI

=> GI=2GK

=> K là trung điểm GI

=> AICG là hình bình hành

=> $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {AG} $

=> $\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AG}  - \overrightarrow {AC} $

Gọi AG cắt BC tại L

Ta có: $\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AG} $

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AL}  = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow {AG}  = 3\overrightarrow {AG} $

=> $\overrightarrow {AI}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{3} - \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $