cho tam giác ABC , A(1;2); B(-2;6); C(9:8) a, tính tích vecto AB.AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A b, tính chu vi và diện tích tam giác ABC c, tìm tọa độ M ∈ Oy sao cho A,B,M thẳng hàng d, tìm tọa độ D sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Giải thích các bước giải:

a,

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} \left( { - 3;4} \right)\\
\overrightarrow {AC} \left( {8;6} \right)\\
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3} \right).8 + 4.6 = 0
\end{array}\)

$\Rightarrow (\vec{AB},\vec{AC})=\widehat{BAC}=90^o$

Do đó tam giác ABC vuông tại A

b,

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} \left( { - 3;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}}  = 5\\
\overrightarrow {AC} \left( {8;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10\\
\overrightarrow {BC} \left( {11;2} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{11}^2} + {2^2}}  = 5\sqrt 5 
\end{array}\)

Chu vi  tam giác ABC là:

\(P = AB + AC + BC = 5 + 10 + 5\sqrt 5  = 15 + 5\sqrt 5 \)

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.5.10 = 25\)

c,

Phương trinh đường thẳng AB đi qua A và B là  \(y = \frac{{ - 4}}{3}x + \frac{{10}}{3}\)

A,B,M thẳng hàng mà M nằm trên Oy nên M là giao điểm của AB với trục tung

Do đó \(M\left( {0;\frac{{10}}{3}} \right)\)

d,

ABC là tam giác vuông nên ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D}\\
{y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = 12\\
{y_D} = 4
\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {12;4} \right)\)