cho pt: m căn ( x^3-1) = x^2+2 a, gpt khi m=4 b tìm m để pt có nghiệm

a) Đk: \(x\ge 1\)

Với \(m=4\)

Pt: \(m \sqrt{x^3-1} = x^2+2 \)

\(\Leftrightarrow 4\sqrt{x^3-1}=x^2+2\)

\(\Rightarrow 16(x^3-1)=x^4+4x^2+4\)

\(\Leftrightarrow x^4-16x^3+4x^2+20=0\)

b) TH1: \(x=1\Rightarrow x^2+2=0\) phương trình vô nghiệm.

TH2: \(x>1\) chia cả 2 vế phương trình cho \(\sqrt{x^3-1}\)

Ta được: \(\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^3-1}}=m\)

Xét hàm \(y=\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^3-1}}\)

ĐK: \(x>1\)

\(y'=\dfrac{2x\sqrt{x^3-1}-(x^2+2)\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3-1}}}{x^3-1}=\dfrac{4x(x^3-1)-3x^4-6x^2}{2\sqrt{x^3-1}(x^3-1)}\)

\(=\dfrac{x^4-6x^2-4x}{2\sqrt{x^3-1}{(x^3-1)}}=0\)

\(\Rightarrow x=\{0; 1\pm\sqrt{3}; -2\}\)

\(y(1+\sqrt 3)=\dfrac{(1+\sqrt 3)^2+2}{\sqrt{(1+\sqrt 3)^3-1}}=\dfrac{6+2\sqrt 3}{\sqrt{6\sqrt 3+9}}\)

Ta có BBT như hình vẽ

Vậy \(m\ge \dfrac{6+2\sqrt 3}{\sqrt{6\sqrt 3+9}}\) thì phương trình có nghiệm.