cho pt: m căn ( x^3-1) = x^2+2 a, gpt khi m=4 b tìm m để pt có nghiệm

a) Đk: $x\ge 1$

Với $m=4$

Pt: $m \sqrt{x^3-1} = x^2+2$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x^3-1}=x^2+2$

$\Rightarrow 16(x^3-1)=x^4+4x^2+4$

$\Leftrightarrow x^4-16x^3+4x^2+20=0$

b) TH1: $x=1\Rightarrow x^2+2=0$ phương trình vô nghiệm.

TH2: $x>1$ chia cả 2 vế phương trình cho $\sqrt{x^3-1}$

Ta được: $\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^3-1}}=m$

Xét hàm $y=\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^3-1}}$

ĐK: $x>1$

$y'=\dfrac{2x\sqrt{x^3-1}-(x^2+2)\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3-1}}}{x^3-1}=\dfrac{4x(x^3-1)-3x^4-6x^2}{2\sqrt{x^3-1}(x^3-1)}$

$=\dfrac{x^4-6x^2-4x}{2\sqrt{x^3-1}{(x^3-1)}}=0$

$\Rightarrow x=\{0; 1\pm\sqrt{3}; -2\}$

$y(1+\sqrt 3)=\dfrac{(1+\sqrt 3)^2+2}{\sqrt{(1+\sqrt 3)^3-1}}=\dfrac{6+2\sqrt 3}{\sqrt{6\sqrt 3+9}}$

Ta có BBT như hình vẽ

Vậy $m\ge \dfrac{6+2\sqrt 3}{\sqrt{6\sqrt 3+9}}$ thì phương trình có nghiệm.