Cho pt 2x^2 + 2(m+1)x + m^2 +4m + 3 = 0. Xác định m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm >= 1.

Đáp án:

$\Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3 + \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ 2 \right\}$.

Giải thích các bước giải:

$2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4m + 3 = 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 4m + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 2m + 1 - 2{m^2} - 8m - 6\\\,\,\,\,\,\, =  - {m^2} - 6m - 5\end{array}$

Để phương trình có nghiệm

$\Rightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - {m^2} - 6m - 5 \ge 0 \Leftrightarrow  - 5 \le m \le  - 1$.

TH1: $m =  - 5 \Rightarrow$ Phương trình trở thành $2{x^2} - 8x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

$\Rightarrow$ Thỏa mãn.

TH2: $m =  - 1 \Rightarrow$   Phương trình trở thành $2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

$\Rightarrow$ Loại.

TH3: $- 5 < m <  - 1 \Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt, giả sử là ${x_1} < {x_2}$. Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2} + 4m + 3}}{2}\end{array} \right.$.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} < 1 \le {x_2}\,\,\,\left( 1 \right)\\1 \le {x_1} < {x_2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 4m + 3}}{2} + \left( {m + 1} \right) + 1 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 3 + 2m + 2 + 2 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 7 \le 0 \Leftrightarrow  - 3 - \sqrt 2  \le m \le  - 3 + \sqrt 2 \end{array}$

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - 1 > 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 3\\\left[ \begin{array}{l}m \ge  - 3 + \sqrt 2 \\m \le  - 3 - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - 3 - \sqrt 2$.

$\Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3 + \sqrt 2 } \right)$.

Kết hợp 3 TH   $\Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3 + \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ 2 \right\}$.