Cho phương trình bậc hai: x^2+(2m-1)x-(m+1)=0

Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

Cho phương trình bậc hai: x^2+2(m-1)x-(m+1)=0 Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1

Đáp án:

Không có giá trị $m$

$m<2$

Giải thích các bước giải:

$\bullet \,\,\,\,\,{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x-\left( m+1 \right)=0$

$\Delta ={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+4\left( m+1 \right)$

$\Delta =4{{m}^{2}}-4m+1+4m+4$

$\Delta =4{{m}^{2}}+5>0\,\,\,\forall m\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow $Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Nên theo hệ thức Vi-et, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=1-2m\\x_1x_2=-m-1\end{cases}$

Phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_1>2\\x_2>2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_1-2>0\\x_2-2>0\\x_1+x_2>4\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)>0\\x_1+x_2>4\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4>0\\x_1+x_2>4\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}-m-1-2\left(1-2m\right)+4>0\\1-2m>4\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}3m>-1\\-2m>3\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}m>-\dfrac{1}{3}\\m<-\dfrac{3}{2}\end{cases}$   (Vô lý)

Vậy không có giá trị $m$ thỏa mãn phương trình có hai nghiệm lớn hơn $2$

$\bullet \,\,\,\,\,{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-\left( m+1 \right)=0$

$\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}+m+1$

$\Delta '={{m}^{2}}-2m+1+m+1$

$\Delta '=\left( {{m}^{2}}-m+\dfrac{1}{4} \right)+\dfrac{7}{4}$

$\Delta '={{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{7}{4}>0\,\,\,\forall m\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow $Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Nên theo hệ thức Vi-et, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2-2m\\x_1x_2=-m-1\end{cases}$

Phương trình có một nghiệm lớn hơn $1$, một nghiệm nhỏ hơn $1$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_1<1\\x_2>1\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_1-1<0\\x_2-1>0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)<0$

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1<0$

$\Leftrightarrow -m-1-\left( 2-2m \right)+1<0$

$\Leftrightarrow m<2$