Cho p là số nguyên tố, p >= 5 thỏa mản 2p + 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng: p(p + 5) + 31 là hợp số

Đáp án + giải thích bước giải :

$\text{Ta có: p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p không chia hết cho 3}$

$\text{$\Rightarrow$ p = 3k+1 ; 3k+ 2 ( k ∈ N )}$

$\text{Nếu p = 3k+1 $\Rightarrow$ 2p+1 = 2(3k+1)+1 = 6k+3 $\vdots$ 3 (vô lí)}$

$\text{$\Rightarrow$ p = 3k+ 2 }$

$\text{$\Rightarrow$ p(p+5)+31 = (3k+2)(3k+7)+31=$9k^{2}$+27k+14+31 = $9k^{2}$ +27k+45 $\vdots$ 3 }$

$\text{$\Rightarrow$ p(p+5)+31 là hợp số (đpcm ) }$

  Chúc bạn học tốt !Xinctlhn

$\text{#thanhky2008}$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\text{Vì p là số nguyên tố ≥ 5}$

$⇒p\not\vdots3$

$\text{⇒p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k∈N*)}$

$p=3k+1⇒2p+1=6k+2+1=6k+3\vdots3$(vô lí)

$⇒p=3k+2$

$⇔p(p+5)+31=(3k+2)(3k+2+5)+31$

                    $=(3k+2)(3k+7)+31$

                    $=9k^2+6k+21k+14+31$

                    $=9k^2+27k+45$

$\text{Vì $9k^2;27k;45$ đều chia hết cho 9}$

$⇒p(p+5)+31\vdots9$

$Mà$

$p(p+5)+31>9$$\text{Vì p nguyên tố}$

$\text{Vậy $p(p + 5) + 31$ là hợp số}$