CHO N(3,-1), M(-2,3), P(1;6). Tìm Q thuộc MN sao cho QP+QC nhỏ nhất, biết C(2,4)

Đáp án: Q($\frac{-407}{41}$; $\frac{694}{205}$)

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\overrightarrow{MN}$ = (3 - (-2); -1 -3) = (5; -4)

⇒ $\overrightarrow{n}$ = (4; 5 )

Phương trình đường thẳng MN: 4(x - 3) + 5(y + 1) = 0 ⇔ 4x + 5y - 7 = 0

Ta có: 4.1 + 5.6 - 7 = 27 > 0 và 4.2 + 5.4 - 7 = 21 > 0

⇒ P, C nằm cùng phía với MN

Gọi I là hình chiếu vuông góc của P xuống MN ⇒ I(x; $\frac{7-4x}{5}$)

Ta có: $\overrightarrow{PI}$ = (x - 1; $\frac{7-4x}{5}$ - 6) là vecto pháp tuyến của MN

⇒ $\frac{x - 1}{4}$ = $\frac{\frac{7-4x}{5} - 6}{5}$ ⇒ x = $\frac{-67}{41}$

⇒ I($\frac{-67}{41}$; $\frac{111}{41}$) 

Gọi P' là điểm đối xứng của P qua MN thì I là trung điểm của PP'

⇒ P'($\frac{-175}{41}$; $\frac{-24}{41}$)

Điểm Q cần tìm thỏa mãn QP + QC nhỏ nhât giao của CP' và MN

Phương trình đường thẳng CP':

$\frac{24}{41}$.(x - 2) + $\frac{-175}{41}$.(y - 4) = 0 ⇔ $\frac{24}{41}$x - $\frac{-175}{41}$y + $\frac{652}{41}$ = 0

Q(x;y) là điểm thỏa mãn thì: $\frac{24}{41}$x - $\frac{-175}{41}$y + $\frac{652}{41}$ = 0 và 4x + 5y - 7 = 0

⇒ Q($\frac{-407}{41}$; $\frac{694}{205}$)