Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn 2 MA^2+MB^2+2MC^2+MD^2=9a^2 là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó tính theo a

Đáp án: $R=a$

Giải thích các bước giải:

Gán tọa độ các đỉnh của hình vuông $ABCD$ vào hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ:

Ta có: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$

Gọi $M(m,n)$

+) $\vec{MA}=(-m;-n)$

$\Rightarrow MA^2=m^2+n^2$

$\Rightarrow 2MA^2=2m^2+2n^2$

+) $\vec{MB}=(a-m;-n)$

$\Rightarrow MB^2=(a-m)^2+n^2$

$=a^2-2am+m^2+n^2$

+) $\vec{MC}=(a-m;a-n)$

$\Rightarrow 2MC^2=2[(a-m)^2+(a-n)^2]$

$=4a^2-4am+2m^2-4an+2n^2$

+) $\vec{MD}=(-m;a-n)$

$\Rightarrow MD^2=m^2+(a-n)^2$

$=m^2+a^2-2an+n^2$

Ta được:

$VT=2MA^2+MB^2+2MC^2+MD^2$

$=2m^2+2n^2+a^2-2am+m^2+n^2+4a^2-4am+2m^2-4an+2n^2+m^2+a^2-2an+n^2$

$=6m^2+6n^2-6am-6an+6a^2=VP=9a^2$

$\Rightarrow m^2+n^2-am-an=\dfrac{a^2}{2}$

$\Rightarrow (m-\dfrac{a}{2})^2+(n-\dfrac{a}{2})^2-\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{a^2}{2}$

$\Rightarrow (m-\dfrac{a}{2})^2+(n-\dfrac{a}{2})^2=a^2$

Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn điều kiện đề bài là đường tròn tâm $I(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2})$ và bán kính $a$.